先日紹介した"アーベル賞受賞者ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアへのインタビュー"の前置きで、A Beautiful Mind[ビューティフルマインド]の映画を見、原書を読むことになった経緯を書きました。映画の方は所詮娯楽に過ぎないのですから、秀作であろうが駄作であろうが、そんなことはどうでもいいし、大の大人が何らかを論じるなんて馬鹿なことを私ですらしません。問題は原作の方なんです。ナッシュ博士を始めて題材にし、真面目な本であることは間違いないのですが、何だかんだ言っても所詮は一般通俗本です。こういうものをまともな数学者が読んで書評を書くのだろうか、あれば読みたいものだと思いました。
検索してみると非常に多くの書評がありましたが、先ず日本語の書評は全く話しにならないので外しました。と言うのは、書評者自身が世界に発信していないからです。世界の人々の殆どが読めない日本語のバリアーに隠れて偉そうに批判しても、それは日本国内向けのポーズに過ぎません(つまり、井の中の蛙)。世界の人々が(平均的知性の持ち主であれば)理解出来る言葉で書いてこそ発信したと言えるのです。私は海外の友人も沢山いますので、日本語の書評がいくら良くても、その思いを共有出来ません。従って、日本語の書評は無意味であり、実質無いのに等しいのです。
ナッシュ博士がノーベル経済学賞受賞者であることもあって、経済学等の、いわゆる文系の人の書評が圧倒的に多かったのですが、私はまともな数学者の書評を読みたいので外しました。そうこうしている間に、灯台下暗しとも言うべきか、あのジョン・ミルナー博士のJohn Nash and "A Beautiful Mind"(PDF)と出会い、正直驚きました。ミルナー博士のような数学界の巨星がいくら古い知人であるナッシュ博士を題材にしている本とは言えども、一般通俗本を読んで書評しているからです。しかし、一読して単なる書評でなく、いわばナッシュ小論とも言うべきだと思いました。この私訳を以下に載せておきます。なお、注釈は省きましたが、注釈への索引はそのままです。
[追記: 2019年03月23日]
このペィジは2015年12月16日に某サイトに載せたものです。従いまして、当時生きていたリンクも現在ではリンク切れになっている可能性があります。
ジョン・ナッシュと"ビューティフルマインド"
1998年年11月 ジョン・ミルナー
ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアは17歳で彼の父親と共に最初の論文を発表した。21歳で彼の学位論文は、経済学、政治学、進化生物学のような様々な分野において、ゆっくりとした改革を新しく開いた明確で初等的な数学的アイデアを示した。次に続く9年間、数学的活動の驚くべき大波の中で、彼は幾何学と解析学において見つけられた最難問で最重要な問題を探し求め、しばしば解決した。そして神経衰弱が、小康状態のみならず断続的な入院によって中断され、苦痛で失われた30年を導いた。しかし、最近の10年間で明白な目覚めと数学への復帰が起こっている。その間に、ナッシュの研究の重要性が多くの栄誉によって認められて来ている。すなわち、フォン・ノイマン賞、計量経済学会とアメリカ芸術科学アカデミーの特別会員、米国科学アカデミーの会員、ノーベル賞での絶頂。
ビューティフルマインド
シルヴィア・ナサーの伝記、ビューティフルマインド1は入手可能なドキュメントの研究のみならず、友人達、家族、知人達の数百のインタビューに基づいて、このストーリを慎重に細かく物語っている。実際、彼女は有能なインタビュアーであり、いくつかの場合において皆が期待するであろうことを遥に超えて資料を発掘しているようだ。1958年のフィールズ賞(ナッシュが候補者の一人だった)に対してのみならず、1994年のノーベル経済学賞に対してさえも、審議の詳細を記述している。審議は非常に議論を呼ぶので、賞の急進的な再構築と推薦委員会における完全な変更となった。概して、彼女のソースは入念に特定されるが、これらの特殊な場合において匿名のままだ。
ナサーは数学でなく経済学を学んだけれども、ナッシュの主要な研究すべてに対して、背景、大雑把な説明、詳細な文献を与えることが出来ている。また、彼の人生に役割を果す場所と人の多くの事情説明をしている(数学的命題及び適切な名前が時々少し意味不明であるが、明敏な読者は何の意味か解決出来る)。このようにカーネギー工科大学、プリンストン大学、ランド・コーポレーション、MIT、高等研究所、クーラント研究所の歴史に関する素晴らしい情報を見る。また多くの有名な、そして余り知られていない数学的スターの情報も見る。議論は多くの興味深いわき道に達している。例えば、MITに関する記述はマッカーシー時代の議論と織り交ざっている一方で、ランド・コーポレーションとフォン・ノイマンに関する記述は冷戦時代の政治に対するゲーム理論の関係の議論になっている(ソ連に対して先制攻撃を主張したフォン・ノイマンはキューブリックのDr. Strangeloveの独自モデルだったのかも知れない)。
ナサーの本のどの議論も重要な倫理的ジレンマを指摘しているはずである。つまり、これは無認可の伝記であって、議題の同意または協力無しで書かれている。ナッシュの数学的活動は錯綜としている個人的生活を伴っており、ナサーはその個人的生活を非常に細かく描いている。この題材は確かに広範囲の観衆にとって興味ある(出版社の広告文で引用されているOliver Sacksは本が"並外れて感動させ、天分と総合失調症についての同情的見識に対して注目すべきだ"と書いている)。しかし、当然のことながら、そんな題材の刊行はその議題のプライバシーの徹底的な侵害を伴う。
本は彼の最初の妻であり、後に確固とした伴侶であるアリシア・ナッシュに捧げられている。アリシアの信じられない困難を通してのサポートは彼のリカバリーに明らかに主要な役割を果たして来ている。
ナッシュの科学的研究
純粋数学者達は数理科学における研究を、その数学的深遠さとそれが導入する新しい数学的アイデアと手法の規模、または長年の問題の解決の大きさに基づいて判断しがちである。このように見れば、ナッシュのノーベル賞の研究はよく知られている手法の独創的だけれども驚くべき応用ではない一方で、彼のすぐ後に来る研究ははるかに豊かで重要である。続く年月の間に、すべてのスムーズなコンパクト多様体が実代数多様体のシートとして実現されること2の証明、高度に非直観的なC1-距離同型埋め込み定理の証明、高次元におけるもっと困難なC∞-距離同型埋め込み定理を証明するためのパワフルで斬新なツールの導入、偏微分方程式の基本存在定理、一意性定理、連続性定理に関する強固な始まりを作った(これらの結果の更なる議論のため、[K1]と[M]を比べよ)。
しかし、人類知識の他の分野に数学が応用される時、きわめて異なる疑問を問わなければならない。つまり、新しい研究がどの程度実世界に関する私達の理解を増すのか。このベースにおいて、ナッシュの学位論文は革命に他ならなかった([U]と同様に[N21]を比べよ)。ゲーム理論の分野はフォン・ノイマンの創作であり、モルゲンシュテルンと共同で書き上げられた(もっと早い論文はツェルメロによるもの)。ゼロ和二人ゲームに関するフォン・ノイマンとモルゲンシュテルンの理論は非常に十分であり、軍部が大変注目したように、戦争に対して確かに応用があった。だが、他の応用が殆ど無かった。経済理論での使用のためのn人または非ゼロ和ゲームの理論を展開する彼等の試みは実際余り芳しくなかった(ナッシュと私の両方がn人ゲームの実験的研究に参加した[N10]。私の知る限り、フォン・ノイマン-モルゲンシュテルンの"解"と実世界との間の相関性を十分に感知出来る、そんな研究は無い)。
学位論文のナッシュは、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンによって研究された協力ゲーム(大雑把に言えば、これらは出席者が密室に参加出来て、互いと協定出来るゲームである)ともっと根本的な非協力ゲーム(そこでは、そんな協定は存在しない)の間の区別を始めて強調した。もっとはっきり言えば、協力の場合は、協力の可能な形式をゲームの形式構造に組み込むことで非協力の場合に還元出来る。ナッシュはまだ学部学生の間に、交渉問題に関して彼の論文[N5]で協力ゲームを始め、ある程度認められた(関係する、もっと早い研究はZeuthenによる)。この論文の一つの注目として、ナッシュはすべての協力ゲームは"ゲームに携わる機会を持つ各プレイヤーに対する有用性"を記述する値を持つはずだと予想した。そんな値は数年後Shapleyによって構築された。
しかし、主要な貢献、彼のノーベル賞につながったのは、非協力理論に対してだった。ナッシュは均衡点という基本概念を導入した。つまり、自身の戦略だけを変更することで成果を改善出来るようなプレイヤーがいないような様々なプレイヤーによる戦略の集合である(この概念に非常によく似たものが100年より前にCournotによって導入されていた)。ブラウワー不動点定理の賢明な応用によって、少なくとも一つの均衡点が存在することを彼は証明した(もっと詳しい説明のためには[OR]、[M]を見よ)。
長年に渡って、ナッシュのうわべは簡単なアイデアからの発展は経済学と政治学において根本的な変革になって来ている。ナサーは、米国政府が電磁波領域の大部分をコマーシャルユーザに安売りした時、1994年の"史上最大のオークション"を描くことでゲーム理論的アイデアの金銭的インパクトを例証している。多重巡回手順は、政府に対する支払いと各バイヤーへの購入周波数の効用を最大化するため、オークションのゲーム理論における専門家達によって慎重に設計された。結果は大成功し、100億ドルが政府に入る一方で、リソースの効率的な割り当てが保証された。対照としてニュージーランドのオークションは、そんな注意深いゲーム理論的設計が無く大失敗だった。政府は予想された収益の約15パーセントしか達成しなかったし、周波数は効率的に分配されなかった(一つのケースでは、ニュージーランドの学生が1ドルでテレビ局ライセンスを買った)。
均衡理論の全く予期されなかった一つの勝利は集団遺伝学と進化生物学への応用である。メイナード・スミスの先駆的研究を基礎にして、ゲーム理論的アイデアは今や異なる種の間の、または種内の競争に応用されている([MS]、[HS]、[W]を比べよ。この理論のもっと正確な形式はドーキンス[D1]によって普及されて、競争は個人遺伝子の間にあると考えている)。進化から経済学へアイデアの興味深い逆流もある。ビンモア([W]の中で)によれば:
ナッシュの学位論文の中のナッシュ均衡のアイデアの進化的3解釈についての所見にもかかわらず、その時の注目は、申し分なく合理的なプレイヤーによる慎重な推論の唯一実現可能な成果とする解釈にほぼ完全に集まった。...幸いにも...メイナード・スミスの本Evolution and the Theory of Games[訳注: 進化とゲーム理論]がゲーム理論家達の注意を合理性の益々手の込んだ定義から離れさせた。結局、昆虫が考えるとは全く言えるはずがなく、ゲーム理論がどうにかして適切な条件下で昆虫の行動を予測出来るならば、合理性がさほど重要であるはずがない。同時に、実験経済学の出現は人種も思考において特に優れていないという事実を痛感させた。ゲームの均衡に対する彼等の方法を見つける時、彼等はいつも試行錯誤手法を使用してそれをする。
すべての応用の中で、一つの非常に重要な帰結が強調されなけれならぬ。つまり、ナッシュと彼の後継者達によって展開されたように、均衡理論は競争の激しい条件下で起こり得ることの最も有名な記述を与えるように思われるけれども、均衡は誰に対しても必ず良い成果とは限らない。アダム・スミスの古典経済学(そこでは自由競争が最も可能性のある解となる)とは対照的に、そして古典的ダーウィン理論(そこでは自然淘汰が必ず種における改良となる4)とは対照的に、非統制競争の現実の原動力は悲惨になり得る。私達すべてが国家間の対立が軍備競争(それは関係者すべてにとって悪い)になり得ることを知っており、極端な場合全く不要な戦争になり得る。同様に進化論において、地質学的期間に渡る種内または競合する種の間の軍備競争は極度に有害になり得る5。確かに、自然淘汰が時には行き詰まり、結局絶滅に繋がるかも知れぬことは全くあり得ると思われる。ここにダーウィンに戻るマイルドに誇張されたバージョンの例がある([D3]、[D4]を比べよ)。好色な雌クジャクが必ず最も見事な尾を持つ雄クジャクを選ぶと仮定しよう。これは進化論的軍備競争になるはずであり、その間に雄達が非常に不恰好なので肉食動物から逃げられなくなるまで尾が徐々に大きくなっている。
同様の意見は経済学に当てはまる。この場合、慎重に選択された政府規制が抑制の無い競争の負の効果を調整出来て、関係者全員にとって良い成果に繋がるだろうことを人は希望する。だが、誰が慎重な選択をするのかに関する問題はもちろん政府事項であり、均衡理論にとってもっと複雑な問題に繋がる。
参考文献
(省略)
検索してみると非常に多くの書評がありましたが、先ず日本語の書評は全く話しにならないので外しました。と言うのは、書評者自身が世界に発信していないからです。世界の人々の殆どが読めない日本語のバリアーに隠れて偉そうに批判しても、それは日本国内向けのポーズに過ぎません(つまり、井の中の蛙)。世界の人々が(平均的知性の持ち主であれば)理解出来る言葉で書いてこそ発信したと言えるのです。私は海外の友人も沢山いますので、日本語の書評がいくら良くても、その思いを共有出来ません。従って、日本語の書評は無意味であり、実質無いのに等しいのです。
ナッシュ博士がノーベル経済学賞受賞者であることもあって、経済学等の、いわゆる文系の人の書評が圧倒的に多かったのですが、私はまともな数学者の書評を読みたいので外しました。そうこうしている間に、灯台下暗しとも言うべきか、あのジョン・ミルナー博士のJohn Nash and "A Beautiful Mind"(PDF)と出会い、正直驚きました。ミルナー博士のような数学界の巨星がいくら古い知人であるナッシュ博士を題材にしている本とは言えども、一般通俗本を読んで書評しているからです。しかし、一読して単なる書評でなく、いわばナッシュ小論とも言うべきだと思いました。この私訳を以下に載せておきます。なお、注釈は省きましたが、注釈への索引はそのままです。
[追記: 2019年03月23日]
このペィジは2015年12月16日に某サイトに載せたものです。従いまして、当時生きていたリンクも現在ではリンク切れになっている可能性があります。
ジョン・ナッシュと"ビューティフルマインド"
1998年年11月 ジョン・ミルナー
ジョン・フォーブス・ナッシュ・ジュニアは17歳で彼の父親と共に最初の論文を発表した。21歳で彼の学位論文は、経済学、政治学、進化生物学のような様々な分野において、ゆっくりとした改革を新しく開いた明確で初等的な数学的アイデアを示した。次に続く9年間、数学的活動の驚くべき大波の中で、彼は幾何学と解析学において見つけられた最難問で最重要な問題を探し求め、しばしば解決した。そして神経衰弱が、小康状態のみならず断続的な入院によって中断され、苦痛で失われた30年を導いた。しかし、最近の10年間で明白な目覚めと数学への復帰が起こっている。その間に、ナッシュの研究の重要性が多くの栄誉によって認められて来ている。すなわち、フォン・ノイマン賞、計量経済学会とアメリカ芸術科学アカデミーの特別会員、米国科学アカデミーの会員、ノーベル賞での絶頂。
ビューティフルマインド
シルヴィア・ナサーの伝記、ビューティフルマインド1は入手可能なドキュメントの研究のみならず、友人達、家族、知人達の数百のインタビューに基づいて、このストーリを慎重に細かく物語っている。実際、彼女は有能なインタビュアーであり、いくつかの場合において皆が期待するであろうことを遥に超えて資料を発掘しているようだ。1958年のフィールズ賞(ナッシュが候補者の一人だった)に対してのみならず、1994年のノーベル経済学賞に対してさえも、審議の詳細を記述している。審議は非常に議論を呼ぶので、賞の急進的な再構築と推薦委員会における完全な変更となった。概して、彼女のソースは入念に特定されるが、これらの特殊な場合において匿名のままだ。
ナサーは数学でなく経済学を学んだけれども、ナッシュの主要な研究すべてに対して、背景、大雑把な説明、詳細な文献を与えることが出来ている。また、彼の人生に役割を果す場所と人の多くの事情説明をしている(数学的命題及び適切な名前が時々少し意味不明であるが、明敏な読者は何の意味か解決出来る)。このようにカーネギー工科大学、プリンストン大学、ランド・コーポレーション、MIT、高等研究所、クーラント研究所の歴史に関する素晴らしい情報を見る。また多くの有名な、そして余り知られていない数学的スターの情報も見る。議論は多くの興味深いわき道に達している。例えば、MITに関する記述はマッカーシー時代の議論と織り交ざっている一方で、ランド・コーポレーションとフォン・ノイマンに関する記述は冷戦時代の政治に対するゲーム理論の関係の議論になっている(ソ連に対して先制攻撃を主張したフォン・ノイマンはキューブリックのDr. Strangeloveの独自モデルだったのかも知れない)。
ナサーの本のどの議論も重要な倫理的ジレンマを指摘しているはずである。つまり、これは無認可の伝記であって、議題の同意または協力無しで書かれている。ナッシュの数学的活動は錯綜としている個人的生活を伴っており、ナサーはその個人的生活を非常に細かく描いている。この題材は確かに広範囲の観衆にとって興味ある(出版社の広告文で引用されているOliver Sacksは本が"並外れて感動させ、天分と総合失調症についての同情的見識に対して注目すべきだ"と書いている)。しかし、当然のことながら、そんな題材の刊行はその議題のプライバシーの徹底的な侵害を伴う。
本は彼の最初の妻であり、後に確固とした伴侶であるアリシア・ナッシュに捧げられている。アリシアの信じられない困難を通してのサポートは彼のリカバリーに明らかに主要な役割を果たして来ている。
ナッシュの科学的研究
純粋数学者達は数理科学における研究を、その数学的深遠さとそれが導入する新しい数学的アイデアと手法の規模、または長年の問題の解決の大きさに基づいて判断しがちである。このように見れば、ナッシュのノーベル賞の研究はよく知られている手法の独創的だけれども驚くべき応用ではない一方で、彼のすぐ後に来る研究ははるかに豊かで重要である。続く年月の間に、すべてのスムーズなコンパクト多様体が実代数多様体のシートとして実現されること2の証明、高度に非直観的なC1-距離同型埋め込み定理の証明、高次元におけるもっと困難なC∞-距離同型埋め込み定理を証明するためのパワフルで斬新なツールの導入、偏微分方程式の基本存在定理、一意性定理、連続性定理に関する強固な始まりを作った(これらの結果の更なる議論のため、[K1]と[M]を比べよ)。
しかし、人類知識の他の分野に数学が応用される時、きわめて異なる疑問を問わなければならない。つまり、新しい研究がどの程度実世界に関する私達の理解を増すのか。このベースにおいて、ナッシュの学位論文は革命に他ならなかった([U]と同様に[N21]を比べよ)。ゲーム理論の分野はフォン・ノイマンの創作であり、モルゲンシュテルンと共同で書き上げられた(もっと早い論文はツェルメロによるもの)。ゼロ和二人ゲームに関するフォン・ノイマンとモルゲンシュテルンの理論は非常に十分であり、軍部が大変注目したように、戦争に対して確かに応用があった。だが、他の応用が殆ど無かった。経済理論での使用のためのn人または非ゼロ和ゲームの理論を展開する彼等の試みは実際余り芳しくなかった(ナッシュと私の両方がn人ゲームの実験的研究に参加した[N10]。私の知る限り、フォン・ノイマン-モルゲンシュテルンの"解"と実世界との間の相関性を十分に感知出来る、そんな研究は無い)。
学位論文のナッシュは、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルンによって研究された協力ゲーム(大雑把に言えば、これらは出席者が密室に参加出来て、互いと協定出来るゲームである)ともっと根本的な非協力ゲーム(そこでは、そんな協定は存在しない)の間の区別を始めて強調した。もっとはっきり言えば、協力の場合は、協力の可能な形式をゲームの形式構造に組み込むことで非協力の場合に還元出来る。ナッシュはまだ学部学生の間に、交渉問題に関して彼の論文[N5]で協力ゲームを始め、ある程度認められた(関係する、もっと早い研究はZeuthenによる)。この論文の一つの注目として、ナッシュはすべての協力ゲームは"ゲームに携わる機会を持つ各プレイヤーに対する有用性"を記述する値を持つはずだと予想した。そんな値は数年後Shapleyによって構築された。
しかし、主要な貢献、彼のノーベル賞につながったのは、非協力理論に対してだった。ナッシュは均衡点という基本概念を導入した。つまり、自身の戦略だけを変更することで成果を改善出来るようなプレイヤーがいないような様々なプレイヤーによる戦略の集合である(この概念に非常によく似たものが100年より前にCournotによって導入されていた)。ブラウワー不動点定理の賢明な応用によって、少なくとも一つの均衡点が存在することを彼は証明した(もっと詳しい説明のためには[OR]、[M]を見よ)。
長年に渡って、ナッシュのうわべは簡単なアイデアからの発展は経済学と政治学において根本的な変革になって来ている。ナサーは、米国政府が電磁波領域の大部分をコマーシャルユーザに安売りした時、1994年の"史上最大のオークション"を描くことでゲーム理論的アイデアの金銭的インパクトを例証している。多重巡回手順は、政府に対する支払いと各バイヤーへの購入周波数の効用を最大化するため、オークションのゲーム理論における専門家達によって慎重に設計された。結果は大成功し、100億ドルが政府に入る一方で、リソースの効率的な割り当てが保証された。対照としてニュージーランドのオークションは、そんな注意深いゲーム理論的設計が無く大失敗だった。政府は予想された収益の約15パーセントしか達成しなかったし、周波数は効率的に分配されなかった(一つのケースでは、ニュージーランドの学生が1ドルでテレビ局ライセンスを買った)。
均衡理論の全く予期されなかった一つの勝利は集団遺伝学と進化生物学への応用である。メイナード・スミスの先駆的研究を基礎にして、ゲーム理論的アイデアは今や異なる種の間の、または種内の競争に応用されている([MS]、[HS]、[W]を比べよ。この理論のもっと正確な形式はドーキンス[D1]によって普及されて、競争は個人遺伝子の間にあると考えている)。進化から経済学へアイデアの興味深い逆流もある。ビンモア([W]の中で)によれば:
ナッシュの学位論文の中のナッシュ均衡のアイデアの進化的3解釈についての所見にもかかわらず、その時の注目は、申し分なく合理的なプレイヤーによる慎重な推論の唯一実現可能な成果とする解釈にほぼ完全に集まった。...幸いにも...メイナード・スミスの本Evolution and the Theory of Games[訳注: 進化とゲーム理論]がゲーム理論家達の注意を合理性の益々手の込んだ定義から離れさせた。結局、昆虫が考えるとは全く言えるはずがなく、ゲーム理論がどうにかして適切な条件下で昆虫の行動を予測出来るならば、合理性がさほど重要であるはずがない。同時に、実験経済学の出現は人種も思考において特に優れていないという事実を痛感させた。ゲームの均衡に対する彼等の方法を見つける時、彼等はいつも試行錯誤手法を使用してそれをする。
すべての応用の中で、一つの非常に重要な帰結が強調されなけれならぬ。つまり、ナッシュと彼の後継者達によって展開されたように、均衡理論は競争の激しい条件下で起こり得ることの最も有名な記述を与えるように思われるけれども、均衡は誰に対しても必ず良い成果とは限らない。アダム・スミスの古典経済学(そこでは自由競争が最も可能性のある解となる)とは対照的に、そして古典的ダーウィン理論(そこでは自然淘汰が必ず種における改良となる4)とは対照的に、非統制競争の現実の原動力は悲惨になり得る。私達すべてが国家間の対立が軍備競争(それは関係者すべてにとって悪い)になり得ることを知っており、極端な場合全く不要な戦争になり得る。同様に進化論において、地質学的期間に渡る種内または競合する種の間の軍備競争は極度に有害になり得る5。確かに、自然淘汰が時には行き詰まり、結局絶滅に繋がるかも知れぬことは全くあり得ると思われる。ここにダーウィンに戻るマイルドに誇張されたバージョンの例がある([D3]、[D4]を比べよ)。好色な雌クジャクが必ず最も見事な尾を持つ雄クジャクを選ぶと仮定しよう。これは進化論的軍備競争になるはずであり、その間に雄達が非常に不恰好なので肉食動物から逃げられなくなるまで尾が徐々に大きくなっている。
同様の意見は経済学に当てはまる。この場合、慎重に選択された政府規制が抑制の無い競争の負の効果を調整出来て、関係者全員にとって良い成果に繋がるだろうことを人は希望する。だが、誰が慎重な選択をするのかに関する問題はもちろん政府事項であり、均衡理論にとってもっと複雑な問題に繋がる。
参考文献
(省略)
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