一昔前に集合と位相の講義を担当した友人(この友人は集合論や数学基礎論等の専門家ではありません)が定期考査、多分夏休みの前か終了直後に行われる中間考査だと思いますが、以下の問題を出題したことがありました。 (問題) 位相空間が第2可算ならば第1可算であることを示せ。 また、位相空間が第1可算であっても第2可算であるとは限らないことを実例を挙げて、実際にそうであることを示せ。 講義に出席して真面目に勉強していたなら、少なくても問題の前半はほぼ定義そのものであるから全員が解答出来るでしょう。ただ後半は実例を知ってなければちょっと難しいのではないかと私は思ったのですが、友人の話によれば講義中に実例を挙げて説明し、更に各自実際にそうであることを確認しておくようにと言ったそうです。と言うことは前半後半関係なく、こんな初等的で基本中の基本問題を全員が解答出来るはずなのですが、結果はそうではなかったそうです。 以下に初学者のために分かりやすく解答例を書いておきます。 (解答例) 第2可算を満足する位相空間を X とする。定義により X の基本開集合系は高々可算である。 X の任意の要素 x に対して、基本開集合系の中から x を要素として含む開集合すべてを取上げて、これをℱ={ O x1 , O x2 , O x3 , ..., O xn , ...}としよう。 x の任意の近傍 U に対して、 x ∊ O ⊂ U となるような開集合 O が存在する。この O に対して、 x ∊ O xi ⊂ O となるような開集合 O xi が定義により必ずℱに存在しなければならない。すなわち、 x の任意の近傍 U はℱの要素を部分集合として含むから、ℱは x の基本近傍系であり、しかも高々可算である。 x は任意の要素だったから位相空間 X は第1可算を満足する。 第1可算を満足するが第2可算を満足しない実例として、離散位相(つまり、空間のすべての部分集合が開集合となる位相)を持つ空間 X が非可算である場合を考えよう。 X の任意の要素 x の近傍は必ず{ x }を部分集合として含み、{ x }自体が x の近傍である。すなわち、{{ x }}は x の基本近傍系であり、ただ一つの近傍{ x }だけからなる。 x は任意だったから離散位相空間 X は第1可算である。次