志村五郎博士が2019年05月03日にお亡くなりになって早二年を迎えようとしています。私が志村博士の逝去を聞いたのは'志村五郎博士著"The Map of My Life"のAppendixより"あの予想"'を載せた直後ですが、日米の時間差を考慮するとほぼ同時間だったようです。その奇遇さには驚きました。
そして約一年後にNotices of the AMSが2020年05月に追悼記事Memories of Goro Shimura(PDF)を掲載しました。これはDon Blasius博士を始めとする7人の数学者達が寄稿したものです。読まれた方もいらっしゃるかと思います。今回紹介するのはどれにしょうかと正直迷いました。7人の数学者達の寄稿すべてを紹介すると分量が多いので、ここは思い切って、志村博士の直弟子であり、7人の寄稿の中で一番長く、しかもいろいろな逸話も書いているDon Blasius博士の寄稿を選びました。この記事の中で私が部外者ながらも強く同意したのは、志村博士は書き方においてミニマリストだということです。つまり、余計なものを足さないし、かと言って余計には引かないことです。これは簡単なようで難しいことです。私が志村博士の英文を好むのはこれだったんだと納得しました。
いずれにせよ、その私訳を以下に載せておきます。なお、参考文献欄は例のごとく省いています。
[追記: 2021年04月01日]
Memories of Goro Shimura(PDF)については他にも肥田晴三博士による追悼記事も追加しました。"Haruzo Hidaによる志村五郎の思い出"を参照して下さい。
志村五郎の思い出
20世紀の後半の数論に大きな影響を与えた数学者、志村五郎は1930年02月23日に日本で誕生した。60年に及ぶ経歴に渡って、彼は新しい方針の研究を活気づけ、その分野の発展に中心的役割を果たす変革的発見を何度もした。志村は東京大学で学位を受け、東京大学と大阪大学で職位を占めた。彼は1964年から1999年に退職するまでプリンストン大学で教授だった。数多くの本と論文を著わし、1970年にGuggenheim Fellowship、1977年にCole Prize in Number Theory、1991年に朝日賞、1996年にSteele Prize for Lifetime Achievementを受賞した。
2020年05月 Don Blasius
志村五郎は私の1981年のプリンストン大学における博士論文を指導し、彼の研究と指導を通じて大学院、そして後の長年の間、中心人物だった。数学をする方法に関する彼のアィディヤは私の経歴を通じて影響を与えている。
1977年の秋、プリンストンに到着したが、私は数論を勉強する積りが無く、それに関する本も読んだことが無かったし、そして志村、岩澤、Dwork、Langlandsのことも、ヴェイユのことさえも聞いたことが無かった。大抵の大学院コースは分かりにくいコース説明だった。この状況で、志村教授の行う代数的数論における入門コースは灯りの標識として際立っていた。代数学は既に私にとって魅力的だったし、この完璧なコースによって私は正しい道に固定された。後には、アーベル多様体、L-函数の特値、周期関係式、保型形式の数論的理論、Eisenstein級数、Θ函数、等の系列の彼のコースを取ったが、すべてのトピクｽが彼の現行の研究に本質的であり、結局のところ、私の初期研究に本質的だった。彼は自身にとって興味のあるトピｸを探究する状況のためではなく、本当に学生達のために教えた。各コースは最低限の素養から始め、手段の明晰性と節約と共に議題に遠くまで行った。彼は必ずノゥッブｸに講義を完全に書き下しており、手前の教壇にそれを置いてたものだ。複雑な式を除いて、そのノゥッブｸ無しで講義し、複雑な式については、彼が行った通りに必ず明確に説明しながら、記憶を新たにするためノゥッブｸを取上げたものだ。志村はいつも完璧に心構えが出来ていて魅力的だった。
私の2年目の初期までには、志村に博士論文を指導して欲しいと私は思った。そのことを彼に問うた時、彼の有名な1970年のテクスッIntroduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを読んで欲しいと言った。この本は解説書の傑作であり、何も無い所から始まり、大部分証明が付いていて、彼のその当時までの研究主題を述べている。私にとって、本はそれが基づいている論文を読むために最適な準備だった。本は変革的な仕事だった。逸話として、私が第3章(Hecke代数とL-函数との関係に関する章)を終えたと言った時、彼はどれくらい時間を費やしたのか私に訊いたことにちょっと触れる。約一ヶ月かかったと言うと、彼は"とても速い"(余りにも速過ぎるを意味する)[訳注: 志村博士は"very fast"と言ったのですが、Blasius博士は"meaning too fast"とわざわざ注釈を付け足しています。これはどういうことかと言うと、veryもtooも形容詞を修飾することは同じですが、意味合いが全然違うからです。veryはただ形容詞を強調するだけであり(soも同じ)、tooは程度を超えていることを意味します。英和辞典でどのように説明しているのか(訳者は所持してませんので)興味ありませんが、どの英英辞典でも必ずそのようなことが書かれています。程度を超えていることを意味させるためにここでは"余りにも"を付加しました]と言った。彼が正しかった！ その年の後に、私が正式に彼の学生かと訊いた時、彼は同意したが、私は彼を"非難"しない約束をするという条件を課せられた。彼はかなり長い間或る学生と研究したが、その学生がまさにそれをやった。そのことを彼が話した時、明らかに傷ついていた。私はその可能性は無いと言った。
志村は長ったらしく詳細な数学の議論に没頭する傾向は無かった(少なくとも私と)。通常、数学の簡単な議論の後、彼は会話を他の何か(学部の噂から中国寓話まで範囲が広がる)に移したものだ。彼はすぐに研究問題を私に与えなかった。代わりに論文を読んでくれと言った。最初は以下で言及する[3]、2番目が[17]だった。2番目の論文を読んでいる間の或る時、志村は論文の主題(アーベル多様体間の関係)に関する素朴で健全な研究問題を与えた。すなわち、"もっと詳細な結果を求めよ。定義の自然な体を見つけよ"。L-函数の値と保型函数から保型形式への標準モドゥの拡張(両者共に新しい分野だ)を含む、とても多くのトピクｽと連結するので、これはより大きな問題だった。
この問題を私に与える前に、志村は私自身のものを思いつきたいという願望を応援していた。幾度か彼に提案したが、彼はそれらに関して反駁出来ない問題点を見つけた(例えば余りにも難し過ぎる、または既になされいる)。私が彼の問題にいくつかの結果をとうとう見つけた時、彼は喜び、"或る成功をすることは素晴らしくないかね?!"と叫んだ。後に、彼がどのように研究したのか質問した。彼は黒板に実に乱雑で自己交叉している経路を描き、その後で彼の目的地としての最後を宣言した。言葉で言うと、彼は一般的アィディヤから始めるが、固定された目標でも予想でもないと言った。
彼を知らない多くの人々は志村を専ら真剣または厳格だと想像している。これは絶対に真実ではなく、私達両者が楽しんだ多くの機智に富んだ瞬間のうちで2つを言及する。私がHecke作用素に関する所見で会話を始めた後、"君は私に言う最初のことはいつも興味深い"と彼は言った[訳注: これのどこが面白いかと言うと志村博士の言う"最初のことはいつも興味深い"はHecke作用素に関する所見を指します]。そしてもう一つは、私が合流超幾何函数に関する彼の論文を難しいと思うと不平を言った後、"君は解析学者を訪問しなければならない！"と彼は言った[訳注: これのどこが面白いかと言うと志村博士は解析学者を訪問せよ、つまり解析学者と"合流"(合流超幾何函数の合流とかけている)せよと言っているからです]。
他の数学者達について、彼は素直にEichler、Hecke、ヴェイユに恩義があると認めており、ヴェイユは40年以上の間、友人だった。またSiegelを非常に尊敬した。かって"彼の証明は正しいから、君は彼の定理をただ使える"と私に言った。彼は多くの数学者達についてそんなに考えなかった。或る日、私達は逆定理に関するヴェイユの1967年論文[訳注: 有名な論文Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungenのこと。この論文によって、その時までは遠く歴史の彼方に埋もれ見向きもされなかった(少数の学者、例えばEichler博士や志村博士等が細々と研究を続けていましたが)モデュラ形式が再び脚光を浴びることになりました。"有理数体上の楕円曲線はモデュラである"という志村予想にほぼ何の関係もないのにヴェイユ博士の名前が付いていた(未だに根強く残っている志村-谷山-ヴェイユ予想という名称)ほどの影響力がありました。これを笑うことは出来ません。日本人も谷山-志村予想だと頑なに固執しているのですから(谷山氏がモデュラ形式で十分であることを全く予想しなかったにもかかわらず。詳しくは'志村五郎博士著"The Map of My Life"のAppendixより"あの予想"'を参照のこと)]を議論した。しばらくして彼は情感を込めて"ヴェイユは天才だ"と言った。主要研究を議論している時でさえ、他の誰かについて彼がそれほど言うのを聞かなかった。アィディヤについては、彼はいろいろなことを知っていたけれども、彼流儀の書き方においてミニマリストだった。例えば、私がヴェクタバンドゥの切口として保型形式に言及した時、この言葉は何かを加えているのか鋭く彼は質問した。文脈における一部に対する抑制を除いて、加えてないと私は認めざるを得なかった。結果として、博士論文ではそんな語法を避けた。
私は標準モドゥに関する志村理論とその先行研究に関する簡単な概要を書くことを頼まれた。1953年、経歴の始まりに志村は任意次元における多様体の法p還元に関する最初の理論([1])を造った。ヴェイユは1953年11月の志村宛の手紙の中で、それを"非常に重要な前進だ"と呼び、虚数乗法の更なる発展に対する有望さを強調した。彼はそれが"多変数のモデュラ函数を研究するためにまさに必要なもの"だとも書いた。一番目の方向は志村と谷山豊の有名な共同研究となり、1955年までに上手く進行した。彼等はCM[訳注: complex multiplication、つまり虚数乗法のこと]型のアーベル(群)多様体を定義、研究し、志村-谷山相互則を証明したが、それは多様体の有限位数の点におけるガロア群の作用を明確に記述している。ここで根底にある主要な結果は、定義体の任意の素数に張り付けられたFrobenius準同型に還元する自己準同型の素イデアル分解に対する有名な公式である。この公式の主要応用として、彼等は殆ど至る所でのHasse–Weilゼータ函数を計算し、それによって、そんな函数に対するHasse予想を証明した。彼等の研究は1961年の有名な研究書Complex Multiplication of Abelian Varieties and Its Applications to Number Theoryに要約されたが、それを谷山の死後に志村が書いた。もっとはっきり言えば、志村は彼の経歴に渡って虚数乗法とアーベル多様体に関する研究論文を書いており、1998年には解説書Abelian Varieties with Complex Multiplication and Modular Functionsさえも刊行した。このテクスッはCM点でのモデュラ函数の値に対する相互則やCM型のアーベル多様体の周期関係の理論のような彼の研究のもっと最近の基礎的トピクｽを含む。
1950年代後期から1960年代後期まで志村は有界対称域の算術商で定義された或る多様体に対する定義体の研究を続け、それらの大部分がAnnals of Mathematicsに発表された。私にとって始まりは1963年の論文"On analytic families of polarized abelian varieties and automorphic functions"だった。この非常に読んで楽しい論文は最初の部分において、周期行列の標準化を通し、与えられた型の多様体の解析パラァミタとして、4つの古典域のうち3つの算術商が生じることを示した。1966年に彼は[7]で更に追求し、有名な概念PEL typeを導入した。彼は算術商のモドゥとして各型に対するモデュライ空間を構築し、点が確実な意味を持つ多様体の大きな供給物を与え、それらの定義体kΩの所見を述べた。すなわち、"多くの場合でkΩがK'のアーベル拡大であることを証明して来ている"。ここでK'は数体であり、しばしば反射体と呼ばれるが、その分野の中心であり、志村-谷山理論で初めて出現した。1964年の[4]において、彼は無限箇所で任意勝手な分岐振舞いを持つ完全実数体上の四元数環に張り付けられた多様体(上半平面の積の商)を研究した。この論文は定義体が完全実数体のアーベル拡大である場合を導入した。代数多様体そのものはCM体(この場合、標準定義体が反射体のアーベル拡大である。つまり、CM体)上の四元数環に張り付けられたモデュライ空間として[5]において研究されていた。このように[4]において、それは更なる降下の問題だった(志村は用語"bottom field"を使った)。1967年の[9]において、彼は[5]の場合を更に考え(次元が1)、Eichlerのものと類似な合同関係を通して、殆ど至る所でのHasse–Weilゼータ函数を計算し、それによって曲線に対するHasse予想を証明した。これらが有名な"志村曲線"である。この論文も、CM点の像における反射体上のガロア作用の明確な記述(一意化のおかげで得られる)によって一意に特徴づけられる標準モドゥの概念を導入している(論文の主定理1を見よ)。1967年にはまた、更なる論文[8]が[9]の標準モドゥを高次元Siegel空間の算術商へ拡張した。これらの論文すべてがイデアルの言葉で書かれた。とうとう1970年には、この長い展開がついに2つの論文になった。すなわち、今や有名な"On canonical models of arithmetic quotients of bounded symmetric domains I, II"であり、両方ともAnnalsに発表された。それらにおいて、志村は[8]のアデール版を与えた。この見解は彼がモドゥのシステムにおける随伴簡約可能群の有限アデール(Hecke作用素を導入する一方法)の作用を定義することを可能にした。古典域の積を引き起こす任意の簡約可能群に対して、そんな理論が存在するだろうと彼は予想した。確かに"この研究の完成は左程困難ではないように思う"と彼は書いた。
志村の学生、ShihとMiyakeの各々が志村予想の諸事例を証明し、一般的な公理的方法に理論を再定式することと同様にDeligneが重要な進歩を造った。1983年には、BorovoiとMilneがエルミート対称型の簡約可能群すべてに対する標準モドゥを構築した。彼等は固定点での相互則をGal(\bar{Q}/K')の代わりにGal(\bar{Q}/Q)の任意勝手な自己同型へ拡張するLanglands予想を証明することでこれをやった。この予想はそれ自体がCM型のアーベル多様体に対する志村-谷山相互則の注目すべき拡張(後にDeligneにより証明された)に基づいた。志村彼自身は1970年の後、(既に言及したが)理論を特殊な場合の保型形式に拡張することを除いて、あまり戻らなかった。代わって、彼にとって1970年代はL-函数の臨界値の理論のような新しい分野での偉大で様々異なる業績の時期だった。YoshidaとKhuri-Makdisiが彼等の寄稿の中でこれらに言及しているので、私はここで止めよう。
私は志村がいなくて本当に寂しい。書き始める前に、私にとってとても重要な多くの彼の論文を再見した。私は再び先生の監督の時期に入り、研究すべき問題を見つけた。
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