taro-nishinoの日記

聞くところによれば、関数型プログラミング言語の流行とともに数学の圏論がブームだそうで。圏の概念が他の数学の分野を全く知らない人でも意味が分かるのか疑問を持っています。その理由は後で述べます。 私の手許に故Serge Lang博士の名著"Algebra"があります。この本は理由があって、何と大昔の1974年の初版第6刷です。非常に貧しい学生だった私に恩師が2冊持っているからと言って1冊を下さり、私の生涯の宝物です。 仮に数学を代数学、幾何学、解析学という全く意味が無い区分けをしたとします。意味が無いと言うのは、例えば多様体論なんかはどの分野にも入るからです。そうであっても無理に区分けしたとしましょう。この3分野のうちでも、代数学(厳密に言えば抽象代数学です)が、勉強するだけなら(あくまで勉強するだけですよ、研究となれば別の話です)数学的予備知識も数学的センス(故小平邦彦博士の言うところの"数覚"、位相群で有名だった故George W. Mackey博士の言うところの"数学的成熟度"、まぁ簡単に言えば数学的才能ですね)も全く必要としません。必要なのは論理を追うための忍耐力と言えます。ですから、理解出来るか否かは別にして、代数構造を"言葉"として吸収することは誰にでも出来ます。数学のどの分野を専攻してもLang博士の"Algebra"程度の知識は"言葉"として知っていなければ話にならないのです。数学での代数学は、私達が日本語や英語等でコミュニケーションするのと同じく、数学の言語なのです。 Lang博士の"Algebra"には、第1章群論の第7節に早くも"圏と関手"が登場します(ページで言えば25ページ目です)。ついでながら、この圏、関手という日本語は全く元の英語が想像出来ないので、以降カテゴリ、ファンクタと書きます。 ところで、Lang博士はブルバキにも入っていた人ですから、こういう抽象度が高い概念を重要視しているかと思いきや、決してそうではないのですね。元々カテゴリ、ファンクタ(ファンクタの方が重要な概念でして、カテゴリはファンクタが扱う対象物です)は、ホモロジー代数の一部として提案された概念です。ホモ...

先ずいきなりですが、John L. Kelleyの有名な本 General Topology の序文の一番先頭の段落を以下に抜粋します。 "This book is a systematic exposition of the part of general topology which has proven useful in several branches of mathematics. It is especially intended as background for modern analysis, and I have, with difficulty, been prevented by my friends from labeling it: What Every Young Analyst Should Know." 私は学生時代にこの General Topology を熟読して位相空間を学んだものでした。私のみならず友人共も皆そうでした。英文も非常に易しく(と言うか、数学書の欧文はどれも一般的に易しいのです。しかし、数学エッセイとなると話は別です)、数学的内容はともかくも、はっきり言えば中学生でも読めます(とは言っても数学書でよく出て来る"so that"と"such that"の違いや iff くらいは教えてあげないと駄目でしょうが)。しかし、この本すら和訳本がかってあったと友人共の一人から聞いて非常に驚きました。そして、その友人はその和訳本を持って来て私に「初っ端の序文の最初の段落で誤訳がある有名な本だ」と言って笑いながら私に見せてくれました。その和訳本の序文の最初の段落(上記の英文に対応します)を以下に抜粋します。 「本書は、数学の幾多の分野において重要性を認められた位相空間論の系統的な記述である。特に近代解析学への背景となるべく意図されたものである。私の友人達も解析学の若い研究者の誰もが知るべきことを示そうという私の意図を妨げ得なかった。」 英文と和訳を見比べておかしいと思わなかった人ははっきり言って英語力零と言っても過言じゃありません。英文で言えば2番目の文章の2番目の文節が和訳と正反対の内容だと気が付きませんか? 先ず"with difficu...

前に紹介した" 虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇 "、" グロタンディークとは何者か? "、” アレクサンドル・グロタンディーク―名前でのみ知られる田園 "の前置き及び追記で度々Winfried Scharlau博士の労作 Who Is Alexander Grothendieck?  Anarchy, Mathematics, Spirituality, Solitude について触れて来ました。この本は元々の独語版と英語版のみです。その理由は” アレクサンドル・グロタンディーク―名前でのみ知られる田園 "の前置き及び追記で散々述べましたのでここでは繰り返しません。 この本は4部(第二部と第四部は未だ執筆中です)に分かれていますが、少なくとも第一部のAnarchyを読む限り、Scharlau博士はグロタンディーク氏に感情移入することなく多くの貴重な資料から事実だけを淡々と積み重ねて、いわば叙事詩のような感触を受けました。しかし、一箇所だけ素晴らしく叙情的な逸話があります。それが初っ端のプロゥログです。この逸話に出て来る青年がグロタンディーク氏であるという決定的証拠はありませんが、状況的に氏以外には考えられません。 そのプロゥログの私訳を以下に載せておきます。なお原文へのリンクは当たり前ですがありません。これを読んで皆さんも原書を購入する切っ掛けになれば幸いです。 [追記: 2019年12月28日] グロタンディーク氏の数学コミュニティとの決別に関して論じたものとして" グロタンディーク: 決別の神話 "があります。 Winfried Scharlau著アレクサンドル・グロタンディークとは何者か? 第一部 混乱よりプロゥログ: ブロンズ胸像 1949年パリス[訳注: パリという馬鹿丸出しのカタカナ表記を止めましょう]。 Rue des Fontaines du Temple [訳注: フォンテーヌ・デゥ・タンプル通り]は市の3番目の行政区であるマレ地区にある短く狭い通りだ。ここに婦人向け毛皮ジャキツとコゥツの製造者のJacquesとLaila R.のアテリエィ且つお店がある。彼等は田舎の小さな村で戦争の恐怖を生き...

先日の日誌に、故Serge Lang博士の"Complex Analysis"を入院先に持ち込んだ話を書きましたが、函数論は私の専攻分野(の中に含まれる)でしたから読むのに時間はかかりませんので、同時に持込んだのは、これまた名著と言われる、故David Bohm博士の"Quantum Theory"です。私が最初に量子力学を勉強したのは、故P.A.M Dirac博士の"The Principles of Quantum Mechanics"でしたが、読んだ人なら御存知の通り、物理実験の話は一切出て来ません。せいぜい、第一章の重ね合わせの原理のところで、光の偏光、すなわち光子の振舞いについて少し触れているだけです。それはそれで、私のような数学科の人間には助かるのです。と言いますのは、実験を長々と説明されても、そうかと思うだけで実感出来ないからです。実験器具なぞ、高校以来触ったこともなければ、見たこともない人間には苦痛以外の何物でもありません。喩え話として、熱があっても体温計を見たことも測ったこともない人に、熱があるのは約37度以上だと説明しても、おそらくは常に体温計を見ない限り、何度くらいで熱があるのかすぐに忘れるでしょう。ですから、前期量子論の話はいつも黒体の中の輻射実験から始まるのですが、私から言わせると苦痛なのです。ですが、もういいかげんな歳になり、前期量子論を知らずに人生を終えてもいいのか自問したら、まだ気力がある時点で勉強しておきたいと思って、David Bohm博士の本を持ち込みました。前期量子論を詳しく記述した和書では、故朝永振一郎博士の"量子力学Ⅰ"が名著ですが、ここまで本格的にやるのは、ベッドに寝転がって読むのに腕力もいるので敬遠しました。以上を纏めると、私は物理専攻の人にはDirac博士の本を勧めません。と言うより、物理専攻だからこそ先に読むべきではなく、Bohm博士又は朝永博士の本を先に読むべきだと思います。逆に言えば、物理専攻でない人(実験が好きで、実験的意味をすぐに把握出来る人を除く)、特に数学畑の人にはDirac博士の本を勧めます。因みに、Bohm博士の本を読むのに必要な予備知識としては、基礎的な数学(特に微積分)と教養課程の一般物理(高校物理でも可能かも。但し...

いくら基礎数学(あえて純粋数学とは言ってません。この言葉はおかしいので廃止して基礎数学を私は推薦します)しか勉強したことがない人でもGertrude Cox[/gˈɚːtruːd kˈɔks/。以降ガーチュルーデュ・コクスとカタカナ表記します]博士の名前くらいは聞いたことがあると思います。私や私の友人共よりも年配の先輩がたにはコクラン-コクスですよと言えば直ぐに分かって下さいます。コクラン-コクスというのはコクス博士がコクラン博士との共著で出版した、あの名著 Experimental Designs を指します。今でこそ類書がたくさんあるようですが、私達の世代でもまだコクラン-コクスがバイブル的存在で真っ先に勧められました。私は学部時代に数学科の講座で数理統計学も履修したことがあるのですが、コクラン-コクスまでは時間的余裕が無く読んでませんでした。しかし、院生になってから環境アセスメントの関係で全く畑違いの私までが統計調査要員の一人として駈り出され、無理矢理コクラン-コクスを読まされた思い出があります。その調査団の指揮官を始め先任者は皆真剣そのものでした。と言うのは調査団は或る役所の肝煎りで結成されたからです。そのおかげで統計のド素人の私はコクラン-コクスでしごかれました。その懐かしいコクラン-コクスも今私の手元にも書棚にも残念ながらありません。幾たびかの引っ越しの際に古本屋さんに引き取って貰ったからです。 さて今回紹介するのはコクス博士のことを書いた記事" Gertrude M. Cox and Statistical Design "(PDF)です。これは今年のAMS Notices 3月号に掲載されたものですが、私は写真を見るなり思わず懐かしいと叫んでいました。実際、この写真は私がかって所持していたコクラン-コクスにも同様の構図のものが裏表紙かどこかのペィジで使用されていた記憶があるからです。 この記事を読んで思ったのですが、" 我々が数学を職業として選ぶのではなく、数学が我々を選ぶ: ユーリ・マニンへのインタビュー "のユーリ・マニン博士の言葉を借りれば、コクス博士が統計学を職業として選んだのではなく、統計学が彼女を選んだということがまさにぴったりだと感じました。だって彼女は24歳まで孤児院の寮母さんだったんですよ。...

昨年紹介した" ABC予想の壮大な証明をめぐって数学の巨人達が衝突する "の元記事はもちろん大衆向けのオンライン科学ジャーナル Quanta Magazine に掲載されたものですが、著者はErica Klarreich女史です。彼女はサイエンスライタではあるけれども、歴とした数学者です。しかも、幾何的トポロジで彼女の名前を冠した定理を持つくらいの立派な方です。何故こういうことを書くかと言うと、IUTを支持するイヴァン・フェセンコ博士がKlarreich女史をいかにも素人呼ばわりした非常に下らないドキュメントを書いたからです。大学にポストを持っていなければ全員が素人なんですかと問いたいくらいです。これでは世界からIUT自体が白眼視されるのも無理からぬことだと思いました(本当のところは全く違う理由からなんですが、話せば切りが無いので止めておきます)。 さて、今回紹介するのはディヴィド・マイケル・ロバース博士が書いた記事" A Crisis of Identification "です。ロバース博士と言えばショルツ、スティクス両博士のリポートが公開された直後からキャテグリ論の専門家として非常に冷静な分析をされていたことに私は感心してましたから直ぐに記事を読みました。一つの不満を除いて非常によく書けていると思います。" ABC予想の壮大な証明をめぐって数学の巨人達が衝突する "も勿論読み応えのある立派な記事でしたが、どちらかと言うとドキュメンタリ風の記事でしたし、読者層が一般大衆であることを考慮してあまり数学を前面に出していませんでした。ロバース博士の記事はもう完全に数学を前面に出しています。 前述した一つの不満はグロタンディーク氏のことにスペィスを割いて結構触れていることです。今のABC予想の置かれている状況とはあまり関係がないと私は思いました。やはり大衆受けを狙ったのかと感じました。まぁ、日本でも素人には何故かグロタンディーク氏は大人気ですから(捏造されたエピソゥド、つまりグロタンディーク素数がどうたらこうたらに踊らされて?)、それはそれで良いのかも知れませんが。 前置きはこれくらいにして、この記事の私訳を以下に載せておきます。なお著者の注釈欄を省いていますが、注釈へのインデクスはそのままです。 [追...

マイケル・アティーヤ卿[ Atiyah の発音記号は/əˈtiːə/です。不思議なことにアティヤとかアティアなどのカタカナ表記が流布しています。前まではアティーヤという表記もあったという記憶があるのですが、最近では見かけません。私もしばらくアティヤという気持ち悪い表記に倣っていましたが、初心に返ってアティーヤとします。次いでながら/iː/と/ə/が連続しているのでリエイズンによりその間に/j/が挿入されることをお忘れなく]が今年の1月11日にお亡くなりになったことは前に紹介した" 書評 The Princeton Companion to Mathematics "の前置きの中でも言及しました。アティーヤ卿が書いた記事はこの"私訳"シリーズにおいても" ブルバキに関する2冊の本のAtiyah卿による書評 "や" 私が知った時のグロタンディーク "を紹介したことがありました。今回紹介するのはEMS Newsletter の2016年12月号に掲載されたインタヴュー記事" Interview with Sir Michael Atiyah Fields Medal 1966 and Abel Prize 2004 "(PDF)です。これがおそらく最後のインタヴュー記事だと思います。もちろん断片的なものや新聞、一般大衆向けの科学誌にこれよりも新しいインタヴューがあるのかどうか知りませんし、そんなものは私にとってはどうでもいいことです。 私は論文を除いてアティーヤ卿が書いた記事をけっこう読んでいますが、著書だとあの有名な Introduction to commutative algebra (マクドナルド博士と共著)しか通読したことがありません。と言うか、可換代数方面で熟読したのは Introduction to commutative algebra とザリスキとサムエルの Commutative Algebra しかありません。これだけでは分量が少ないとか古いとか言われますが、基礎だけを固めると考えれば十分だと思います。これより新しいことや知らないことを調べたいなら通読しようなどと馬鹿なことを考えずにブルバキの Algèbre commutative や、もっと代数幾...