前に紹介した'"ツォルンの補題"の起源'の前置きで群の第一同型定理を少しばかり解説しました。ところが友人共の話を統合すると、どうやら第二同型定理の方も講義時点で学生達は余り分かってないようです。群の第二同型定理(こっちの方を第一同型定理と呼ぶ人もいます。私の感触ではどちらを先に載せるかで第一、第二と呼んでいるように思います。またこっちの方が定理の意味することの重要性は高いです)というのは、Nを群Gの正規部分群、fをGからG/Nへの全射準同型、G/Nを\bar{G}と置いて、\bar{H}を\bar{G}の正規部分群とする時、H＝f-1(\bar{H})はNを含むGの正規部分群であり、G/H≅\bar{G}/\bar{H}が成立するというものです。この定理の重要性は、\bar{G}の任意の正規部分群\bar{H}に対してGの正規部分群H(但しNを含む)が一対一に対応することを意味しているところにあります。これは環を加群と見なした場合、正規部分群に相当するイデアルについても成立しますし、可換環論では重要な役割をします。ですから第二同型定理の重要性を考慮して少しばかり解説します。
証明は馬鹿みたいに簡単です。\bar{G}から\bar{G}/\bar{H}への全射準同型をgとすれば、合成写像(g◦f): G → \bar{G}/\bar{H}は全射準同型、その核は(g◦f)-1(\bar{H})＝{x∊G; g(f(x))＝\bar{H}}＝{x∊G; f(x)\bar{H}＝\bar{H}}＝{x∊G; f(x)∊\bar{H}}＝f-1(\bar{H})＝H。つまりHは(g◦f)の核なのでGの正規部分群。HがNを含むことは、Nの任意勝手な要素xに対して(g◦f)(x)＝g(f(x))＝g(xN)＝g(N)＝\bar{H}だから、x∊(g◦f)-1(\bar{H})＝f-1(\bar{H})＝Hにより明らか。これらに群の準同型定理を適用するとG/H≅\bar{G}/\bar{H}が成立する。\bar{H}の正体もすぐ分かるでしょう? \bar{H}はG/Nの正規部分群なのだからNを法とする剰余群でなければならず、しかもH＝f-1(\bar{H})を満たすのだからH/N以外にあり得ません。従って、第二同型定理をもう少し見やすく書くとG/H≅\bar{G}/\bar{H}＝(G/N)/(H/N)。そしてG/Hの単位要素がH、(G/N)/(H/N)の単位要素がH/Nなので、HとH/Nが一対一に対応していることになるわけです。また証明を振り返るとf-1(\bar{H})＝Hという条件がいかに大事か分かるかと思います。因みに言うと、始めからHがNを含む正規部分群、\bar{H}=f(H)と仮定する第二同型定理のヴァーシュンもあります。正確に書くと、H、NをH⊃Nとなるような群Gの正規部分群、fをGからG/Nへの全射準同型、G/Nを\bar{G}と置いて、\bar{H}=f(H)とする時、\bar{H}は\bar{G}の正規部分群であり、G/H≅\bar{G}/\bar{H}が成立するというものです。証明も上述のものと殆ど同じですが、初学者のために詳しく書いておきます。H⊃Nだから\bar{H}＝f(H)＝{xN; x∊H}＝H/N、H/Nは正規部分群Hのfによる準同型像なので正規部分群。G/Nから(G/N)/(H/N)への全射準同型をgとすれば、合成写像(g◦f): G → (G/N)/(H/N)は全射準同型、その核は(g◦f)-1(H/N)={x∊G; g(f(x))＝H/N}＝{x∊G; f(x)(H/N)＝H/N}＝{x∊G; f(x)∊H/N}＝{x∊G; xN∊H/N}＝H。これらに群の準同型定理を適用するとG/H≅(G/N)/(H/N)が成立する。上述の二つの第二同型定理の違いは、\bar{H}とHのどちらを先に規定するかの違いだけで、\bar{H}とHのうち先に決まったものが後のものを決定しています。それは不思議でも何でもなく、結果として\bar{H}とHが一対一に対応しているわけですから当たり前のことです。
以上の通り、証明が馬鹿みたいに簡単ですので、友人共の誰かが定期考査や他の機会に出題する可能性があるかも知れません(彼等もそんなことをしたくないはずなんですが、ちょっと気の利いた独自の出題をしても解答出来ない学生が長年の観察の結果、段々と増えて来ているように感じると彼等から聞いてますので、止むを得ないのかも)。
先に第二同型定理の重要性を言いましたが、証明云々よりも定理の意味するところを理解することの方が大切です。例えば、故Atiyah卿の有名な著書Introduction to commutative algebraの中で最も早くに出て来る命題Proposition 1.1がまさに第二同型定理のイデアル版です。その箇所を少しばかり引用すると、
We shall frequently use the following fact:
Proposition 1.1. There is a one-to-one order-preserving correspondence between the ideals 𝔟 of A which contain 𝔞, and the ideals \bar{𝔟} of A/𝔞, given by 𝔟 = 𝜙-1(\bar{𝔟}). ■
とあります。ここで𝔞は可換環Aのイデアル、𝜙はAからA/𝔞への全射準同型、order-preservingというのは集合としての包含順序関係を保っているという意味です。証明抜きなのは常識又は既知としているか他書(?)に譲っているのでしょう。Introduction to commutative algebraはOxford大学の学部3年生の講義から出現した著書ですから、Oxford大学3年生が群の第二同型定理のような初等事項を知らないはずがなく(この本の序文に書かれている通り、基礎的な代数系講座を履修しているはず)、加群としての環のイデアルへの適用なぞ常識だったからかも知れません。もちろん知らなかったとしても、こんな易しい命題ならどんな学生でも直接的に証明(つまり全射準同型𝜙が𝔞を含む𝔟とA/𝔞の\bar{𝔟}の間の一体一対応を誘発していること)出来るでしょうが、命題が第二同型定理等と同様なことだと思わなかったのであれば数学的センスがあるとはお世辞にも言えないでしょう。
さて話は変わります。今回紹介する記事はQuanta Magazine誌において2021年04月12日に掲載されたMathematician Disproves 80-Year-Old Algebra Conjectureです。この記事は故Irving Kaplansky博士の乗法単元予想を否定的に解決したという最近のニューズを扱ったものです。この乗法単元予想の否定的解決は2021年02月22日に発表されたのですが、世界の数学コミュニティをあっと言わせ、海外の知人も興奮冷めやらぬ面持ちで代数畑ではない私に03月上旬には知らせてくれました。乗法単元予想解決は勿論偉大な業績であることは言うまでもないことなんですが、私が嬉しかったのは昨今のコロナヴァイラスや何やかんやで世界が意気消沈している時に、数学が死せずに、このような素晴らしい研究により再び活気を取り戻そうとする気配を感じたことです。この記事を読んで改めて思ったことは当たり前ですが、いつの時代でもどんな分野でも反例や実例を挙げることは何百ペィジの大論文を提出することよりも遥かに説得力を持ち、コミュニティを得心させることです。俗に言う屁理屈よりも実例だということです。ともかくも、その記事の私訳を以下に載せておきます。なお、断っておきたいことがあります。原文にあるgroup algebraを日本数学界の慣例通り"群多元環"と訳しましたが、この"多元環"という最悪な日本製数学用語は私の最も忌み嫌うものの一つですが、他の訳を充てると混乱する可能性もあるかと思い断念しました。一時は"群環"(意味不明な多元環よりはいいでしょう)にしようかと思ったのですが、そうするとgroup ringは一体どうなるのかと文句をどうたらこうたら言う輩が必ずいますので断念しました。こういうことを考えると私は思い切って群代数(ベタですが)にすればいいと昔から思ってます。
数学者が80年間未解決の代数予想を偽だと証明する
2021年04月12日 Erica Klarreich
結晶体の対称性の中で、博士号取得後の研究者が乗法逆元に関する基本的予想に対して反例を発見している。
02月22日、Giles Gardamという名前の博士号取得後の数学者が単元予想に関する時間の長いオンライントーｸを行った。単元予想は基本的だが、80年以上の間未解決のままの忌々しい代数問題だった。その予想と2つの同類の予想の歴史を彼は慎重に並べ、K-理論と呼ばれる強力な代数的仕組みとの繋がりを説明した。その次に、彼はプレズンティシュンの最後の数分で意外な新事実を述べた。
"トーｸは終わりに近いから、何が新しいかを告げる時だ。初めて今日宣言出来ることは実に幸せだ。はっきり言おう、単元予想は偽だ"と彼は言った。
Gardamは長い間探し求められていた反例をどのように見つけたのか聴衆に話すことを辞退した(コンピュータ検索を伴っていることを明らかにしたことを除いて)。数ヶ月かけてもっと詳細を伝えるだろうと彼はQuantaに語った。しかし、今のところ"もっと結果を得るための十分な仕掛けを残しているとまだ楽観している"と彼は言った。
Gardamが解決した問題は高校生達に対しても説明出来るほど簡単な疑問に関係する。すなわち、代数構造の広い系列の中でどの要素が乗法逆元を持つのか?
乗法逆元は7と1/7のように掛けて1となる組だ。しかし、単元予想は通常の数ではなく、"群多元環"の要素の乗法逆元に関している。"群多元環"は数体系(実数または或る種の時計算のように)と群(行列、対称変換やその他の集まりを含む膨大なキャティグリ)を結合させる構造だ。
そんな構造の中で、80年以上前に数学者達は最も簡単な要素だけが乗法逆元を持てると予想した。20世紀半ばの研究者達は乗法逆元に関してもっと複雑な要素を探すために群多元環を紙と鉛筆の大規模な計算をして調べ尽くしたが、予想の証明も反例の発見も出来なかった。
数十年に渡って、単元予想と2つの同類の予想は"絶望的なもの"とされたとOxford大学のDawid Kielakは言った。しかし、3つの予想の証明を多くの数学者達が諦めた後でさえ、大部分K-理論との深い繋がりのおかげで、3つの予想は代数学研究の"背景の中で、いつもどうにか居残った"と彼は言った。
今やMünster大学のGardamが特別な結晶体から構築された群多元環内部において普通でない"単元"(乗法逆元を持つ要素)を見つけることで単元予想の反例を与えている。"途方もない研究だ"とSouthampton大学のPeter Krophollerは言った。
Gardamの研究の前は、反例やすべてを包含する証明も無しに、数学者達は特別な場合において3つの予想(または、それらの下流的結果)の確立を地道にやっていた。しばしば、これはK-理論という強力だが労力を要する仕組みを利用することを伴った。単元予想に対する反例というGardamの発見は奇妙にも、この労力が本当に必要だったと示唆しているので頼もしいとKrophollerは言った。
"非常に基本的な核心で、いつも苦しめる疑問があった。すなわち、単元予想の証明を持っているなら、それは多くの事柄をより簡単にはしないだろう?"と彼は言った。予想が一般的には真ではないことを知ることは"単元予想の証明を見つける必要を避けるために私達がやった複雑なことのすべてが尚もやる価値があった"ことを意味すると彼は言った。
研究者達はGardamの複雑な単元に隠れている原理を理解するという仕事を今や課せられている。"それは非常に興奮させる。今私達は水門が開いたところにおり、すべては再び可能性がある"とKielakは言った。
予測出来ない簡約化
単元は群論の広大な世界に関して来る。群論は新しい要素を得るために2つの要素をどのように"掛け算"するかの概念を持つ集合を研究する。乗法が適切に上手く振舞う限り、集合が群の資格を得るためのたった2つの追加要求があるだけだ。すなわち、集合は特別な要素(通常"1"と名札付けられる)を含まなければならず、その要素は他者の要素と掛け合わせられる時に、他者をそのまま何も変えない。そして、すべての要素𝑔は乗法逆元(𝑔-1と書かれる)を持たなければならない。乗法逆元は𝑔掛ける𝑔-1が1となるようなものだ。乗法逆元を持たない要素が急に生じ、単元予想が働き始めるまで、群多元環(群と係数の数体系を結合させる)の範囲に話を移さない。
群の世界は広大だ。例えば、行列(数の配列)の群、対称変換の群、外形内部の穴の数またはテュランﾌﾟ一組の異なる配置の情報を把握している群、物理学や暗号やその他多くの学問分野で発生する群がある。
多くの群において、意味を為す唯一の算術だけがある。だが、行列は違う。行列同士を掛け合わせる他にも、行列同士を加算出来るし、または行列に数係数を掛けることが出来る。行列は線型オブジェクッと変換を理解する鍵であり、この力強さのため、数学者達と物理学者達は群の要素を行列として表現する方法を見つけることにより、他の群の見識を得る。
約一世紀前、群論学者達は問い始めた。すなわち、群の要素を行列として表現するつもりなら、何故元々の群の構造内に行列の特性を要約してコンティナ化しないのか? 特に、群要素を共に加えること、またはそれらに或る数体系からの係数を掛けることについて何故言わないのか? 結局、𝑎と𝑏が2つの群要素ならば、少なくとも(1/2)𝑎＋7𝑏または4𝑎3－2𝑎𝑏2のように和を書き下すことは可能だ。
これらの和は元々の群の観点では意味を持たない。つまり、テュランﾌﾟ一組の配置の半分ともう別の配置の7倍を足すことを言うのは意味が無い。しかし、それにもかかわらず、これらの形式的和において代数的操作を行える。数学者達はこれらの形式的和の集まりを"群多元環"と呼び、この構造(群と数体系の係数を一緒に織っている)は"一つのオブジェクッの中に群の行列表現に関する情報を共に詰めている"とGardamは電子メイォゥの中で書いた。
多くの点で、群多元環における要素は高校の代数から馴染みの多項式に似ている。すなわち、𝑥2－4𝑥＋5または3𝑥3𝑦5＋2のような式。しかし、重要な違いがある。2つの多項式を掛け合わせるならば、いくつかの項が相殺するかも知れないが、最高指数の項は簡約化プロセスを必ず生残るだろう。例えば、(𝑥－1)(𝑥＋1)＝𝑥2＋𝑥－𝑥－1。𝑥と－𝑥の項は互いを相殺する一方で、𝑥2の項は生残り(－1がそうであるように)、𝑥2－1となる。だが、群多元環においては群要素間の関係性は特別で予測困難な簡約化を引き起こせる。
例えば、群が文字"A"の対称変換の集まりだと仮定しよう。この群は2つの要素しか持たない。つまり、すべての点をそのままにしておく変換(群では"1")と、中心垂直軸を横断する反転(これを反転𝑟と呼ぼう)。2回の反転は各点を元々の位置に戻すので、群の乗法の言葉で、𝑟掛ける𝑟は1に等しい。この関係性は群多元環においてすべての種類の予期せぬ結果を引き起こす。例えば、𝑟＋2と(－𝑟/3)＋(2/3)を掛け算するなら、殆どすべてが相殺し、残っているのは1である。すなわち、(𝑟＋2){(－𝑟/3)＋(2/3)}＝(－𝑟2/3)＋(2𝑟/3)－(2𝑟/3)＋(4/3)=(－𝑟2/3)＋(4/3)＝1(∵𝑟2＝1)。
言い換えると、𝑟＋2と(2/3)－(𝑟/3)は乗法逆元である。
1940年、Graham Higmanという名前の代数学者が学位論文の中で素敵な予想を造った。すなわち、この簡約化の奇妙さの最悪のものは、群多元環を構築するために使用されている群が上述の実例での𝑟と同じように、要素に対する或る累乗が1であるような要素を含む時に発生するのみだろうと彼は提案した。他の群多元環すべてにおいては、7𝑎または8𝑏のような単項だけを持つ要素は乗法逆元を持てる(実際に持つ)一方で、𝑟＋2または3𝑟－5𝑠のような多項を持つ和は乗法逆元を決して持てないと彼は想定した。乗法逆元を持つ要素は単元と呼ばれているから、Higmanの仮説は単元予想として有名になった。
次の数十年に渡って、20世紀の主要な数学者の一人であるIrving Kaplanskyはこの予想を、零因子予想と冪等予想と呼ばれる2つの他の群多元環予想と一緒に普及させた。その3つはKaplansky予想として有名になった。集合的に、3つの予想は群多元環が私達が数または多項式の掛け算から慣れている代数と著しく違わないと想定している。しかし、Kaplanskyはこれらの予想への注意を促したけれども、彼がそれらを信じていたと考える特別な理由は無いとKielakは言った。
いずれにせよ、当時は殆ど根拠が無かった。少しあるとしたら、その予想を信じない哲学的理由があった。つまり、数学者Mikhael Gromovが述べたと言われているように、群の展示場は様々に非常に異なっているので、真である明確な理由が無ければ、群に関する広範囲で普遍的な命題は殆どいつも偽である。
だから、Kaplanskyが単元予想を促進することは"非常に大胆不敵で、他の人々を刺激して賢い実例を思いつかせることを意味した"とKielakは言った。
しかし、数学者達は反例を思いつくことが出来なかったが、努力不足のためではない。反例が無いから"進行している深い何かがあり、見落としてしまっている隠れた原理があると考え始める"とKielakは言った。
崩壊する和
20世紀の後半に渡って、"深い何か"に対する候補者が出現したように思われた。すなわち、代数的K-理論。トポロジや代数学のような広い数学分野を伴って代数を統一するための計算困難な群不変量を使用する広大な体系だ。K-理論を使うと、例えば、研究者達は単元予想を予め決められた動きだけを使って位相的外形をもう別の外形に変換出来る時の問題に繋げることが出来た。
研究者達は力強いが未証明な或るK-理論予想が零因子予想と冪等予想を意味するであろうことを示すことが出来、潜在的に2つの予想が真である深い理由を提供した。しかし、3つの予想のうち最も難しい単元予想に対しては同じことが出来なかった。Bonn大学のWolfgang LückはFarrell-Jones予想と呼ばれるK-理論予想から単元予想が成立することを証明しようと懸命に頑張った。"私はこの証明を出来なかった。私が馬鹿なのかしらと思っていた"と彼は言った。
それでも数学者達は多くの特定のクラースの群について単元予想を証明出来た。それらの群は多項式における最高指数の概念とよく似た性質を持っていた。しかし、研究者達はHantzsche-Wendt群と呼ばれる単純なものも含んで、この性質を破っている少数の群のことも知っていた。Hantzsche-Wendt群は物理学者達が宇宙の形に対して可能性のあるモドゥだと考えて来ている外形の対称性を写し取っており、三次元結晶体の辺を繋げることで構築されている。多くの他の群と比べて、これは"驚くほどに普通だ"とCornell大学のTimothy Rileyは言った。
Hantzsche-Wendt群は単元予想に対する反例を探すための格好の場所のように思われた。だが、それをすることは簡単な作業ではなかった。つまり、Hantzsche-Wendt群は無限だから、群多元環の短い和に対してさえも無限に多くの可能性がある。そして2010年に一組の数学者達が、この群に反例があるなら、これらの和の最も簡単なものからは見つからないだろうことを示した。
今やGardamがHantzsche-Wendt群から構築されている群多元環内部で各々21項を持つ一組の乗法逆元を発見している。その一組を発見することは複雑なコンピュータ検索を要したが、それが本当に逆元であることを検証することは人間の計算の範囲で上手く行っている。それらを掛け合わせて、積の441項が簡単に数1になることを確認する問題に過ぎなかった。"すべてが崩壊し、非常に素晴らしい"とKrophollerは言った。
今LückはFarrell-Jones予想が単元予想を意味することを証明出来なかった理由を知る。すなわち、Farrell-Jones予想はHantzsche-Wendt群に対しては真だが、単元予想は偽である。"今私は私が馬鹿ではなかったことを知る"と彼は言った。
一旦Gardamが彼のェアゥゴリズムを公開すれば、他の数学者達がHantzsche-Wendt群や他の潜在的に可能性のある群を探索する解禁期となるだろう。"希望は私達が何か新しいこと、すなわち私達に実例を構築させる新しい仕掛けを学ぶことである"とKielakは言った。
予想が偽であることを知ることは既に多くの数学者達の物の見方を変えて来ている。"心理的に、これは大きな違いであり、おそらく一年の間に、無限に多くの反例を持つことになろう"とKielakは言った。
Gardamの反例は係数として最も簡単な数体系の一つ、すなわち2"時間"しか持たない時計算を使用している。だから即席の疑問は実数や複素数のような他の数体系を用いて見つかる反例があるかどうかである。Kaplanskyの他の2つの予想を破る群が存在するかどうかの疑問もある。そんな発見は、その分野の中心予想のいくつかと矛盾するだろうから、K-理論コミュニティを通して戦慄を送るだろう。
Gardamにとって、彼の発見は代数学の魅力ある反例を探索するのに消費する年月の最高潮である。報奨金狙いの猟人の気持ちでやる気を持っているのではないと彼は電子メイォゥの中で説明した。むしろ、不思議な反例が与えることの出来る喜びの興奮を彼は追いかけている。
"力強い理論はそれ自身の美と上品さを持つが、すべてが強固で、厳密に管理され、行儀良く振舞うならば、その分野は非常に無味乾燥になり得る。驚くべき実例は数学を楽しくさせ、不思議で素晴らしさを保つものの大きな部分である"と彼は書いた。
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