taro-nishinoの日記

複素数体上の正方行列𝑨はJordan標準形𝑱と相似である、すなわち或る正則行列𝑷が存在して𝑷 -1 𝑨𝑷＝𝑱となることは線型代数講座の最終目標でもあるから、講座を履修したことがある人なら誰でも御存知でしょう。ところが、私の友人共から言わせれば殆どすべての学生達はJordan標準形の証明を少なくとも講義時点で全く理解していないと言ってました。それが証拠に、Jordan標準形の講義終了後に具体的な正方行列のJordan標準形を求めよと言っても、殆どすべての学生達は出来ないでしょう。また日頃から知ったかぶりで線型代数を環上の加群の一理論に過ぎないと軽視して講義をおろそかにしている学生連中が蓋を開けてみれば全く出来なかったことも言ってました。Jordan標準形の証明は① 広義固有空間に基づくもの(冪零空間を扱っているものも同義)、② 有理標準形を経由するもの、③ 単因子標準形を経由するもの、等があります。どれも長くて決して簡単ではありませんが、分かりやすさの度合いでは①が最低最悪です。①が分かりにくい一つの理由として読者に若干の視覚的直観を強いるからだと私は思います。歴史的に言うと①を避けたくて②又は③が考案されたのでしょう。しかし、①を本当の意味で理解すれば、Jordan標準形の本質も理解したことになり、Jordan標準形の算出も簡単に出来るはずなんです。残念ながら②又は③は間接的なので、それらの証明を理解してもJordan標準形の存在証明を理解したに過ぎず、Jordan標準形の本質を理解したことにはなりません。①は多少の違いや書き方の差はあれど、あれ以上は実質的に簡単になりません。私もかって①の基本線に沿って分かりやすい(自己基準)と思った証明を書いたことがありましたが、友人共から言わせれば返って不透明になったとボロクソに言われました。その時以来、①を改良しようなどと考えたことがありません。要は冪零空間を扱っている限りどれも似たり寄ったりということです。従って、皆さんも講義時点では①を理解出来なくても心の中でいつも①を反芻しておれば、いつかは証明と親密になる時が来るはずです。その時がいつ来るのか個人差があり、そもそもそれではその時までJordan標準形をずっと使えないままになるので、Jordan標準形の算出方法(と言うか、大事なのはJordan標準形そのも...

 実数の数列が収束する必要十分条件がCauchy列であることは教養課程で微積分を履修したことのある人なら誰でも知っていることでしょう。新入生達が入学したてのほやほやの春に講義の中で実数の連続性に関連して習う代物です。収束数列がCauchy列であることは、どんな落ちこぼれの学生達でも証明出来ますが、逆命題のCauchy列が収束することの証明は意外と出来ない学生達がいるようです。昔、私の友人共の一人が微積分の講座を受け持った時に以下の問題を中間考査や某都道府県の数学科教員採用試験で出題したことがあります。 (問題) Cauchy列が収束することを示せ。但し、 有界単調数列は収束する ことを前提とする。 せっかく前提条件まで示されているのだから、何をしなければならないか分かっておれば誰でも簡単に解答出来るはずです。ところが友人の話によれば驚くくらい出来が悪かったようです。はっきり言って、中間考査で解答出来なかったならば兎も角も(入学したてなので情状酌量が考慮されます)、最終学年で志願したはずの数学科教員採用試験で解答出来なったら、大学で何を勉強して来ましたかと詰問されても致し方が無いくらいに基本中の基本の問題です。以下に初学者のために証明の解答例を書きますが、その前に証明の流れを把握しないと解答例をただ単にぼけっと眺めても分かるはずが無いので少しばかり解説しておきます。 証明には以下の3つの要点があります。① Cauchy列は有界である。② Cauchy列から作られる単調数列の極限である上極限(又は下極限)の存在 ③ Cauchy列がその上極限(又は下極限)に収束する。つまり、数列が収束する時かつその時のみ上極限と下極限は一致する。 先ず①が無ければ②に進みようがありません。有界単調数列が収束することが前提条件なのはそのためです。上極限・下極限のイメィヂを把握出来ない人は、上極限を最大の集積値、下極限を最小の集積値だと思っても結構です。上極限が最大の集積値であることは大昔に紹介したことがある記事“ 証明の不滅 ”の前置きで私が証明を与えていますので、それを参照して下さい。下極限についても数列の各項の符号を反対にして考えればいいだけの話なので、上極限に関する証明を参考に御自身で考えたらいいでしょう。どんな極限値も集積値ですから③は集積値が一意に定まることを示していま...