集合・位相の講座を担当したことのある友人の話によれば、最近の学生達は変な所に拘りがあるらしいです。もっと辛辣な言い方をすれば、馬鹿みたいにどうでもいい所に拘り、先にはもっと重要なことや学習すべきことが多くあるのにもかかわらず、停滞して成績も芳しくない学生が多いということです。以下、位相の話を少しばかりしますが、位相の公理が開集合系から始まる理由については、前に紹介した" エミー・ネータ告別式におけるヘルマン・ヴァイルの弔辞 "の前置きで触れましたので、ここでは繰返しません。 さて、友人は講義の一番最初に大体以下のような誰もがお馴染みの定義から始めました。 集合を要素とする集合族ℱが以下の条件を満足するならばℱを位相、ℱの要素を開集合と呼ぶ。 (1) ℱの任意の部分族に属する要素の合併はℱの要素である。 (2) ℱに属する2つの要素の共通部分はℱの要素である。 (3) ℱに属するすべての空でない要素の合併 X はℱの要素であり、 X は位相空間と呼ばれる。空集合∅もℱの要素である。 この友人が言うには、或る学生はこの(3)を定義に置いたことに甚だ御不満のようで、やたらとブルバキ、ブルバキと錦の御旗のごとく連呼してブルバキでは(3)を含めていないと言ったらしいです。友人はその学生に(3)を含めたら誰が困るのか、むしろ(3)が無いとグレィゾゥンのように変な解釈をするかも知れない学生達にはよっぽど(3)は教育的かつ明確でいいではないか、君は最小系選手権にでも出場するのかいと思いっきり嫌味を言ったようです。 確かに(3)は(1)から自明的に導き出されますが、(3)が無ければ、どこかで命題又は系として∅と X は開集合であることを別途説明しなければならないし、ブルバキのように紙面の制約も無くだらだら長々と書ける結構な御身分ならともかくも、一般的には制約があり、ほんの少しでも紙面を節約するのが普通です。いくら自明的に導き出されるとは言えども「∅と X は開集合である」という趣旨の文章よりも確実に長くなりますし、こんな下らないことに証明または説明のために紙面を浪費するよりも、簡潔に定義に含めておけば教育的にもいいと私も友人の考えに賛同します。因みに(1)から(3)を導出してみます。∅はℱの部分族でもあるから(1)より零個の要素の合併はもちろん∅だから∅はℱの要...