代数系もしくは代数構造の講義を受講した人なら群の第一同型定理(人によってはこれを第二同型定理と呼ぶ人もいます)と呼ばれるものを誰もが御存知でしょう。すなわち、Nを群Gの正規部分群、HをGの部分群とすれば、HN/N≅H/H∩Nが成立するというものです。 以前紹介した" わが父アンドレ・ヴェイユ "の前置きで触れた友人は学生達が講義時点で第一同型定理の証明を本当に理解しているのか怪しいと言ってました。証明自体は群の準同型定理(つまり群Gから群G'への全射準同型fがあって、NをGの正規部分群とするならf(G)＝G'≅G/Nが成立する)を使って、fのHへの制限を考えたら誰もが簡単に出来るはずなんです。ところが学生達の中にはf:G→G/Nの形に引きずられてかどうか分かりませんが、愚かにもf:H→H/Nだと思う馬鹿もいるらしいです。これが全く無意味なのはH/Nという剰余群らしきものを考えるのであれば少なくともH⊃Nが条件になければならないのに、第一同型定理の条件のNはGの正規部分群に過ぎないのであって、Hとは何の包含関係も仮定されていないことから分かるでしょう。 そこで、これに関して少しばかり解説します。GからG'への全射準同型fが与えられた時、fのHへの制限、すなわち全射準同型f:H→f(H)においてf(H)が何なのかを理解することが大切です。簡単のためH'＝f(H)とします。f -1 (H')が何なのか分かりますか? fは準同型なので一般的にf -1 (H')⊃H。そしてf -1 (H')⊃Nでなければなりません(何故なら、準同型定理によりG'≅G/NなのでH'＝f(H)はG/Nの部分群であり、しかもNを法とする剰余群でなければならず、それがf -1 (H')/Nのはずだから)。もっと簡単に言えば、h∊Hばかりではなく、G/Nにおける剰余類hNに属するようなhn(n∊N)という形の要素すべてをf -1 (H')は含みます。すなわちf -1 (H')はHとNの両方を含む最小の部分群HNを含むことになります(f -1 (H')がHとNを含む部分群であることをお忘れなく)。HNが実際にGの部分群であることは、a, b∊HNとすれば、ab∊HNHN＝HHN